Matematika Rolet · Terapan · 13 mennèt

Risiko Bangkrut

Q: Apa progresi matoron risiko bangkrut?

Martingale matoron jarèya kaangguy sesi pèndhèk bân maongghâ jarèya sacara drastis kaangguy sesi lanjhâng. Taroan tetep (flat betting) kalabân unit sè lebbi rajâ iyâ arèya cara sè jujur kaangguy matoron jarèya.

Probabilitas èlang sakabbhiyânna modal sampèyan sabellunna nyampè' target.

Jâwâban sèngkat

Kaangguy taroan 1:1, risiko bangkrut noro' rumus kabangkrutan tokang judi. Kalabân modal $500, taroan $10 bân target $600, sampèyan nyampè' target kèra-kèra 57% dâri bâkto bân bangkrut è sèsana.

rumus

kabangkrutan tokang judi

p (taroan 1:1)

18/37

q/p

1,0556

asèl paling towa

Pascal–Fermat, 1656

Pètanya'anna

Sampèyan andi' a unitpèssèUnitJumlah taroan dasar sè èangghuy sistem otabâ pamaèn. Progresi èjelasaghi è dâlem unit sopaja bisa èangghuy è mèja apa bâi.Bâca lengkap → modal amaèn (bankroll)pèssèModal (bankroll)Jumlah pèssè sè èsèsèaghi kaangguy amaèn. Pangatoran modal iyâ arèya mèlè sabârâmma sè èresikoaghi è sabbhân taroan bân sabbhân sesi.Bâca lengkap → bân terro nyampè' a + b unit, kalabân ataroan sèttong unit sabbhân kalè è taroan 1:1taroanTaroan 1:1Mèra/celleng, ganjil/genap, rajâ/kènè'. 18 angka, majâr 1:1.Bâca lengkap → kalabân probabilitasmatematikaProbabilitasUkuran kamungkinan sèttong asèl, dâri 0 sampè' 1 otabâ 0% sampè' 100%. Sèttong angka: 1/37 = 2,70%.Bâca lengkap → mennang p = 18/37 bân probabilitas kala' q = 19/37. Sabârâmma probabilitas sampèyan nyampè' target sabellunna nyampè' nol? Jâwâbânna èghârâp bi' Pascal, Fermat bân Huygens è taon 1650-an bân dâddhi sala sèttong asèl paling towa è teori probabilitas.

Blaise Pascal: Legenda Rodha Rolet

Rumus Kabangkrutan Tokang Judi

P(nyampè' target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Risiko bangkrutmatematikaRisiko bangkrutProbabilitas èlang sadhâjâ modal sabellunna nyampè' target otabâ jumlah puteran.Bâca lengkap → iyâ arèya sèttong èkorangè angka jarèya. Kalabân q/p = 19/18 ≈ 1,0556, rasio jarèya tamba sacara eksponensial manurot jumlah unit, dâddhi rumus arèya ngoko' unit kènè' kalabân bherrâ': samakin bânnya' taroan sè èparlowaghi kaangguy nyampè' target, samakin sering pungutan 2,70% èbâjâr è sapanjhâng jhâlân.

modalunittargettaroan sampè' targetp(nyampè' target)risiko bangkrut

$500$10$60010≈ 57%≈ 43%

$500$50$6002≈ 79%≈ 21%

$500$10$1.00050≈ 6%≈ 94%

$500$100$1.0005≈ 43%≈ 57%

$500$500$1.000148,6%51,4%

$100$10$20010≈ 37%≈ 63%

Taroan 1:1, jumlah taroan tetep, tanpa la partage. Kalkulator Risiko Bangkrut ngarjhâ'aghi aritmetikana kaangguy angka sabârâmma bâi.

Carana Maca

Unit sè lebbi kènè' marogi. Coba ngadobel $500 kalabân taroan $10 berhasèl 6% dâri bâkto; kalabân sèttong taroan $500 berhasèl 48,6% dâri bâkto. Amaèn bhângal, iyâ arèya taroan sè lebbi sakonè' bân lebbi rajâ, ngabânnya'aghi probabilitas nyampè' target è permaènan kalabân ekspektasi negatif, polana ngakonè'aghi sabârâmma kalè kalebbiyân kasino èkenaaghi. Amaèn bhângal kèyâ ngabânnya'aghi variansmatematikaVariansOkoran sabârâmma lèbâr asèl asebbâr è sakobhângnga nilai harapan. Tèngghi kaangguy straight up, cèndhâ' kaangguy taroan 1:1.Bâca lengkap → dâri apa sè kajâdiyân ka sampèyan, bân marèaghi malem kalabân cepet. Teorema arèya èsebbhut “amaèn bhângal iyâ arèya sè optimal” bân èbuktèaghi bi' Dubins bân Savage è taon 1965.

Probabilitas ngobâ $500 dâddhi $1.000 è mèra%

sèttong taroan $500

48,6%

taroan $100

≈ 43%

taroan $50

≈ 37%

taroan $20

≈ 21%

taroan $10

≈ 6%

taroan $5

≈ 0,5%

024,3048,6%

Samakin bânnya' taroan sè èparlowaghi, samakin sering kalebbiyân kasino èbâjâr. Amaèn tako'an jarèya larang.

Asal Mola Parkara Arèya

Pètanya'an arèya lebbi towa tèbhâng rolet. È taon 1656 Pascal maberri' Fermat sèttong tèbâ'an: duwâ' pamaèn nglempar tello' dadu, sabbhân amolaè kalabân 12 kepèng pangètong; lemparan 11 ngèsser sèttong kepèng ka sèttong arah, lemparan 14 ka arah laènna. Duwâ'na nemmo jâwâbânna, bân Huygens, sè ngèding parkara jarèya lèbât sorat dâri ahli matematika Pierre de Carcavi, nyetak jarèya è taon 1657 dâddhi soal kalèma' è buku pertama parkara probabilitas, kalabân jâwâbânna tapè tanpa bukte. Sabellâs bisa èlempar kalabân 27 carana bân empa' bellâs ghun kalabân 15 carana, dâddhi sabbhân kepèng ngèsser ka arah pamaèn pertama 9 kalè dâri 14, bân rumus è attas, kalabân 12 kepèng kaangguy sabbhân, maghâbây pamaèn pertama kèra-kèra 1.157 kalè lebbi mungkin mennang sakabbhiyânna tèbhâng èlang sakabbhiyânna. Kalebbiyân 2,70% lebbi kènè' bânnya', tapè rumus sè padâ nunjhuk'aghi apa akibatta è bânnya' taroan.

È tèbâ'an Pascal, sabbhân lemparan tello' dadu ngèsser sèttong kepèng pangètong è antara pamaèn.

Taroan Bhângal sè Saongghuna

È bulân April 2004 Ashley Revell, sèttong lalake' ngoda Inggris, ajuwâl ampèr sakabbhiyânna bârâng andi'na, termasok kalambhina, bân ngibâ $135.300 ka Plaza è Las Vegas. Saellana bârâmpa taroan kènè', abâ'na nyaba' sakabbhiyânna jumlah jarèya è mèrataroanMèraTaroan 1:1 è 18 angka mèra. Bâsa Prancès: rouge.Bâca lengkap →, sakalè. BalpakakasBalBal kènè' sè èoco' ka jalur abâlik arah rotor. Bal modern èghâbây dâri ivorine otabâ Teflon, 18–21 mm.Bâca lengkap → ambu è mèra 7 bân abâ'na kalowar kalabân $270.600. È rodha nolrodhaNolSèttong kantong bhiru sè ta' èsakop taroan 1:1, losin otabâ kolom; asal kalebbiyân kasino. Kèyâ: nol tonggal, 0.Bâca lengkap → dobel, puteran tonggal jarèya andi' probabilitas 47,37% bân è rata-rata ongkosna $7.121, iyâ arèya kalebbiyân 5,26% è sèttong taroan. Mon èpècca dâddhi taroan $10, target sè padâ ampèr tadâ' arebbhâ'an. Amaèn bhângal ta' maghâbây taroan dâddhi bhâghus; amaèn bhângal maghâbây taroan jarèya sapèndhèk mungkin.

Sakabbhiyânna modal Ashley Revell ètaroaghi è sèttong puteran rodha nol dobel.

Risiko Bangkrut tanpa Target

Mon sampèyan ghun amaèn sampè' bangkrut otabâ marè saellana N puteran, pètanya'anna dâddhi “sabârâmma probabilitas modal kaula nyèntok nol è dâlem N puteran?”. Tadâ' bhângon tertutup kaangguy N umum, tapè simulator è situs arèya ngètong jarèya: modal $500 kalabân taroan $10 è mèra ampèr ta' tao bangkrut è 100 puteran (è bâbâ 1%), bangkrut kèra-kèra 9% dâri bâkto è 500 puteran, bân kèra-kèra 95% dâri bâkto è 5.000 puteran. Tanpa atoran marè, probabilitasna semma' ka 100%, bân jarèya versi jangka lanjhâng dâri kalebbiyân kasino (house edge)matematikaKalebbiyân kasino (house edge)Bâgiyân dâri sabbhân taroan sè ètahan kasino rata-rata: 2,70% è rolet Eropa.Bâca lengkap →.

Sapolo sesi, modal $500, $25 è mèra, 200 puteranasèl vs awal

1.000 sesi × 500 puteran · ungu p10/p25/p75/p90, bhiru muda median, 81 sampel samar · gerraghi kursor è attas grafik kaangguy nangalè kuantil è sèttong puteran

p10 −$500
p25 −$500
median −$500
p75 +$0
p90 +$350

1.000 sesi × 500 puteran · sumbu y èpotong è persentil ka-1 sampè' ka-99 (ekstrem −$500 sampè' +$1.500) · 500 puteran · dasar $25 · taroan 1:1

Garis sè nyèntok dasar la bangkrut. Kalabân unit sè lebbi kènè', garis-garis jarèya bâkal tahan lebbi abit bân mareh è kennengngan sè padâ.

Konvergensi Jangka Lanjhâng: Hukum Angka Rajâ è Rolet

Sabârâmma Abit, bân Sabârâmma Jhâu Ontong

Duwâ' asèl klasik laènna nyawâb pètanya'an sè saongghuna ètanyaaghi pamaèn. Tanpa target, taroan 1:1 kalabân jumlah tetep tahan rata-rata 37 puteran kaangguy sabbhân unit modal è rodha Eropa bân 19 puteran è rodha Amerika, polana sabbhân puteran rata-rata ngala' 1/37 unit (1/19 è rodha Amerika): 100 unit tahan rata-rata 3.700 puteran, maskè saparo dâri sesi akantha jarèya la mareh è dâlem 3.134 puteran (tèngghuy Durasi bân Ongkos Sesi). Bân sabârâmma rajâ bâi modalla, probabilitas è rodha Eropa kaangguy è sala sèttong bâkto ontong k unit iyâ arèya (18/19)ᵏ. Jarèya 95% kaangguy sèttong unit bân 58% kaangguy sapolo unit, tapè tadâ' modal, sabârâmma rajâ bâi, sè maghâbây probabilitas è sala sèttong bâkto ontong 13 unit nyampè' saparo; è rodha Amerika probabilitasna (9/10)ᵏ bân toron è bâbâ saparo è 7 unit.

unit ontong, è bâkto apa bâiEropaAmerika

194,7%90,0%

576,3%59,0%

1058,2%34,9%

1349,5%25,4%

2033,9%12,2%

506,7%0,5%

1000,45%0,003%

Taroan 1:1, jumlah taroan tetep, modal sè cokop rajâ dâddhi ta' tao abis. Probabilitasna (18/19)ᵏ è rodha nol tonggal bân (9/10)ᵏ è rodha nol dobel.

Lanjhângnga Sesi bân Bâjâna Rodha bân Atoran Rolet Amerika

Modal kaangguy Probabilitas Saparo

Bâlè' pètanya'anna: sabârâmma modal sè kodu ègibâ sampèyan sopaja probabilitas mennang jumlah tertentu sabellunna èlang sakabbhiyânna paling sakonè' saparo? Kaangguy kamennangan kènè', ta' bânnya'. Kaangguy kamennangan sè lebbi rajâ, modal sè èparlowaghi onggâ tajhem, bân saellana titik tertentu tadâ' modal sè cokop, polana modal sè ta' abâtes kèyâ maberri' probabilitas korang dâri saparo kaangguy è sala sèttong bâkto bisa ontong sajhâu jarèya. Taylor (2021) ngoca'aghi kalabân cara laèn: è rodha Amerika, sopaja probabilitas nyampè' 100 unit paling sakonè' saparo, sampèyan kodu amolaè kalabân 94, ataroaghi 94 kaangguy mennang 6. È rodha Eropa sampèyan marlowaghi 88.

target mennangEropaAmerika

1 unit22

2 unit33

3 unit45

4 unit68

5 unit712

6 unit921

7 unit12tadâ' modal sè cokop

8 unit15tadâ' modal sè cokop

10 unit24tadâ' modal sè cokop

12 unit46tadâ' modal sè cokop

13 unit otabâ lebbitadâ' modal sè cokoptadâ' modal sè cokop

Modal paling kènè', è bâbâ' unit, sè maberri' probabilitas paling sakonè' saparo kaangguy mennang jumlah jarèya sabellunna modal abis, kalabân taroan 1:1 sè jumlahna tetep. Ètongan kaula dâri rumus è attas.

Pangajhârân Praktis

Pastèaghi apa sè ghi' ècoba sampèyan. Mon tojjhuwânna kamennangan tertentu, ataroan rajâ bân sakonè'. Mon tojjhuwânna malem sè lanjhâng, ataroan kènè' bân tarèma jâ' kalebbiyân kasino bâkal ngala' 2,70% dâri total taroan (turnover)pèssèTotal taroan (turnover)Jumlah sadhâjâ sè èpertaroaghi è sèttong sesi otabâ masa, kalebbu pèssè kamennangan sè ètaroaghi polè. Kèyâ: handle, action.Bâca lengkap → sè rajâ. Mon tojjhuwânna duwâ'na, bâdâ sè kodu èkorbanaghi, bân biasana jarèya targetta.

Rumus

P(target) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ)

risiko bangkrut = 1 − P(target)

q/p = 19/18 kaangguy taroan 1:1

rata-rata puteran sampè' bangkrut, tanpa target = 37 × unit

P(è sala sèttong bâkto ontong k unit) = (18/19)ᵏ

Pètanya'an

Apa progresi matoron risiko bangkrut?

MartingalestrategiMartingaleProgresi sè ngadobel taroan saellana sabbhân kala'. Bâca bâgiyân Strategi kaangguy oneng apa sè èlakonè bân apa sè ta' èlakonè.Bâca lengkap → matoron jarèya kaangguy sesi pèndhèk bân maongghâ jarèya sacara drastis kaangguy sesi lanjhâng. Taroan tetep (flat betting)strategiTaroan tetep (flat betting)Ataroan kalabân jumlah sè padâ è sabbhân puteran. Dâsar sè èangghuy kaangguy abandingaghi sabbhân progresi.Bâca lengkap → kalabân unit sè lebbi rajâ iyâ arèya cara sè jujur kaangguy matoron jarèya.

Dâ'ramma parkara taroan straight up?

Rumus è attas alako kaangguy taroan 1:1. Kaangguy taroan sè variansna tèngghi, kabangkrutan lebbi mungkin kajâdiyân è jumlah taroan sè kènè' bân target èsampè'è kalabân cara sè lebbi ta' rata; angghuy kalkulatorra.

Arapa q/p dâddhi ukuran konce?

Sabbhân langkah ka target sakonè' lebbi ta' mungkin tèbhâng sabbhân langkah ka kabangkrutan; rasio jarèya alèpet sabânnya' jumlah langkahna.

Amaèn sareng Matematika

Coba kerjaaghi dhibi' gâllu. Sabbhân pamecaan èlempet; bukka'a mon sampèyan la sadhiya.

Sampèyan andi' $100 bân terro $1.000, ghun ataroan è mèrataroanMèraTaroan 1:1 è 18 angka mèra. Bâsa Prancès: rouge.Bâca lengkap →. Rencana sèttong: ataroan $1 sakalè pasang. Rencana duwâ': ataroan sadhâjâ sè sampèyan andi' sampè' lebbi dâri $500, saellana jarèya ghun sè cokop kaangguy sampè' $1.000. Rencana sè dimma sè lebbi bhâgus, bân sabârâmma bidhâna?
Tampèlaghi pamecaan
Jâwâban Rencana duwâ', jâu lebbi bhâgus. Rencana jarèya sampè' $1.000 kèra-kèra 9,0% dâri bâkto, semma' ka 10% sè adil. Rencana sèttong ngasèl kèra-kèra 7 kalè è 10²².
È permaènan adilmatematikaPermaènan adilPermaènan è dimma tadâ' sèsè sè andi' kalebbiyân: sabbhân taroan andi' nilai harapan nol.Bâca lengkap → sampèyan bâkal sampè' $1.000 dâri $100 sakalè è sapolo, apa bhâi sè sampèyan lakonè, polana nilai rata-rata pèssè sampèyan tetep $100.
Kalebbiyân kasino ngala' 2,70% dâri sabbhân taroan, dâddhi samakèn sakonè' total sè sampèyan taroaghi, samakèn semma' sampèyan ka sèttong è sapolo. Rencana duwâ' ngamarèaghi parkara jarèya è sakonè' taroan: $100 dâddhi $200, $400, $800, saellana jarèya $200 la cokop. Rencana jarèya ngasèl kèra-kèra 9,0% dâri bâkto. Rencana sèttong butoh rèbon taroan sabellunna lampa jarèya marè, bân kalebbiyân kasino, sè kènè' è sabbhân taroan, èkompol dâddhi kabangkrutan sè ampèr pastè.
Arèya iyâ arèya asèl Dubins–Savage è bentu' sè paling ghâmpang (Epstein, 2013): è permaènan sè ngonggulaghi kasino, ataroan sabânnya' sè sampèyan butoaghi, sajârang sè bisa.
Sampèyan andi' $500 bân terro $1.000, ambu èbhâkto la olle. Sampèyan mèlè sèttong macem taroan bân ngolangè sampè' mennang sakalè otabâ pèssèna kabisan. Macem sè dimma sè aberri' probabilitas paling rajâ?
Tampèlaghi pamecaan
Jâwâban Sèttong taroan $500 è mèra: 48,6%. Sabbhân rencana sè nyebar pèssè ka taroan sè lebbi kènè' asèlla lebbi jhubâ'.
Pèlè sabbhân jumlah taroan sopaja sakalè mennang la cokop: $30 è straight uptaroanStraight upSèttong angka, majâr 35:1.Bâca lengkap → mennang $1.050, $60 è splittaroanSplitDuwâ' angka sè adhâmpèng, majâr 17:1.Bâca lengkap → mennang $1.020, bân salanjhutta. Saellana jarèya ètong probabilitas jâ' paling sakonè' sèttong taroan mennang sabellunna pèssèna kabisan. Ennem bellâs straight up $30 kala' kabbhi kalabân probabilitas (36/37)¹⁶ = 64,5%, dâddhi sampè' $1.000 35,5% dâri bâkto.
Tabel nondhu'aghi sabbhân taroan. Mèra paling bhâgus polana sampè' è sèttong taroan, dâddhi kalebbiyân kasino èbâjâr sakalè, è $500. Six linetaroanSix lineEnnem angka è duwâ' bâris sè adhâmpèng, majâr 5:1. Bâsa Prancès: sixain.Bâca lengkap → nomer duwâ' polana ghun butoh tello'. Sèttong taroan losintaroanLosin1–12, 13–24 otabâ 25–36, majâr 2:1.Bâca lengkap → paling jhubâ', probabilitasna 12/37; maskè èmaènaghi kalabân unitpèssèUnitJumlah taroan dasar sè èangghuy sistem otabâ pamaèn. Progresi èjelasaghi è dâlem unit sopaja bisa èangghuy è mèja apa bâi.Bâca lengkap → $250 sampè' sampèyan andi' $1.000 otabâ lebbi, losin ghun sampè' 46,4% dâri bâkto.
Bollman (2024) ngaghâbây tabel sè padâ kaangguy rodha Amerika. Bâris losinna andi' kasalaan: kodu 12/38 = 31,6%.
taroanjumlah taroan × bânnya'na taroanprobabilitas sampè' $1.000
Straight up$30 × 1635,5%
Split$60 × 835,9%
Street$90 × 534,5%
Corner$125 × 436,7%
Six line$166, $166, $16841,2%
Losin$500 × 132,4%
Mèra$500 × 148,6%
Sampèyan ataroan sèttong unit è mèra, puteran saellana puteran, kalabân modalpèssèModal (bankroll)Jumlah pèssè sè èsèsèaghi kaangguy amaèn. Pangatoran modal iyâ arèya mèlè sabârâmma sè èresikoaghi è sabbhân taroan bân sabbhân sesi.Bâca lengkap → sè ta' parnah kabisan. Saellana puteran pertama sampèyan ontong sèttong unit otabâ rogi sèttong unit. Sabârâmma probabilitas sampèyan bâkal pas impas polè?
Tampèlaghi pamecaan
Jâwâban 36 dâri 37, 97,3%. È rodha Amerika 36 dâri 38, 94,7%.
Mon puteran pertama mennang (18 kalè dâri 37), sampèyan ontong sèttong unit, bân kalebbiyân kasino narèk sabbhân sesi sè ta' parnah marè ka bâbâ, dâddhi lagghu' otabâ lambhât sampèyan ngalèbâdi impas polè: arèya pastè. Mon kala' (19 kalè dâri 37), sampèyan kodu naèk sèttong unit, bân probabilitas parnah ontong sèttong unit iyâ arèya 18/19 (tèngghu tabel è attas).
Bhârengan: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Sacara omom probabilitasna iyâ arèya 1 èkorangè bidhâ antara probabilitas mennang bân kala' sèttong puteran: 1 − 1/37 è rodha Eropa, 1 − 2/38 è rodha Amerika. È permaènan sè ta' andi' nolrodhaNolSèttong kantong bhiru sè ta' èsakop taroan 1:1, losin otabâ kolom; asal kalebbiyân kasino. Kèyâ: nol tonggal, 0.Bâca lengkap → bidhâna tadâ' bân probabilitasna 1: skorra sabbhân bâkto abâli ka impas. Epstein (2013) aberri' atoran omomma.
Bâtangan Pascal taon 1656: duwâ' pamaèn ngocok tello' dadu, sabbhân pamaèn ngawalè kalabân 12 tandhâ. Sabbhân 11 ngallè sèttong tandhâ ka pamaèn pertama, sabbhân 14 ngallè sèttong ka pamaèn kaduwâ'; kocokan laèn ta' èètong. Sabârâmma probabilitas pamaèn pertama mennang kabbhi 24? Bân mon sampèyan ataroan 1 unit è mèra sabbhân puteran ngadhâpè kanca sè dâddhi bank, masèng-masèng 12 unit, sabârâmma probabilitas sampèyan mennang kabbhi 24?
Tampèlaghi pamecaan
Jâwâban Pamaèn pertama mennang kèra-kèra 1.157 kalè dâri 1.158. Sampèyan, è mèra, mennang kabbhi 24 unit ghun kèra-kèra 34% dâri bâkto.
Tello' dadu ngasèlaghi 11 è 27 carana bân 14 è 15 carana, dâddhi sabbhân tandhâ sè ngallè entar ka pamaèn pertama 27 kalè è 42, 9 kalè è 14. Kalabân sabbhân bâgiyân ngawalè è 12, probabilitas ngala' sadhâjâ iyâ arèya 1/(1 + r¹²), è dimma r iyâ arèya perbandingan probabilitas bâgiyân laèn kalabân probabilitas sampèyan.
Kaangguy pamaèn pertama r = 5/9, bân (5/9)¹² ≈ 0,00086, dâddhi probabilitasna kèra-kèra 0,99914: odds 9¹² banding 5¹², otabâ 282.429.536.481 banding 244.140.625, kèra-kèra 1.157 banding 1. Huygens nyetak angka-angka jarèya pas è taon 1657.
È mèra, r = 19/18 polana bâdâ nol, bân (19/18)¹² ≈ 1,913: probabilitas sampèyan 1/2,913 ≈ 34,3%. Pèssè logam bâkal aberri' 50%. Kalebbiyân 2,70% è sabbhân taroan, è bânnya' taroan sè èbutoaghi, èkompol dâddhi bidhâ 16 poin.

Sèlèngan lucu

$Amaèn bhângal iyâ arèya sè optimal. Amaèn bhângal kèyâ cepet mareh.$

Amaèn bhângal iyâ arèya sè optimal. Amaèn bhângal kèyâ cepet mareh.

Somber

Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. Wiley, edisi ka-3, 1968. Kabangkrutan tokang judi, bab XIV.
Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed. Academic Press, 2013.
Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed. CRC Press, 2021.
Carcavi, P. de. Sorat ka Huygens, 28 September 1656, parkara masalah sè èajukaghi Pascal ka Fermat. Œuvres complètes de Christiaan Huygens, jld. 1, 1888, hlm. 492–494.
Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae. 1657. Pembahasan sè ècetak paling adâ' parkara nilai harapan.
Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling. Springer, 2010. Bab 13, rolet.
Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.” April 2004.
Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.” 12 April 2004.

èpareksa 2026-09-28model: Eropa, nol tonggalmetodologi ↗somber ↗